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Exercice 4

Un capital de $1\,000$ euros est placé à intérêts composés au taux annuel de 5%.
Soit $u_n$ le capital disponible (en euros) au bout de $n$ années. Ainsi, $u_0=1\,000$.
1.a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
1.b. Qu'en déduire concernant la suite $(u_n)$?
1.c. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
1.d. Donner le sens de variation de $(u_n)$.
2.a. Ecrire l'algorithme d'un programme permettant de déterminer la plus petite valeur $n_0$ telle que $u_{n_0}>2\,000$.
2.b. Programmer un tel programme sur votre calculatrice et donner la valeur de $n_0$ proposée.

Solution...
Corrigé

1.a. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n+{5}/{100}×u_n=(1+{5}/{100})×u_n=1,05×u_n$.

1.b. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 1,05 de premier terme $u_0=1\,000$.

1.c. Et par là, pour tout naturel $n$: $u_n=1\,000× 1,05^n$.

1.d. Comme $1$<$1,05$, alors $(1,05^n)$ est strictement croissante.
Et comme $1\,000$>$0$, $(u_n)$ est également strictement croissante.

2.a. Nous proposons deux algorithmes possibles.

Le premier utilise
la formule de récurrence.

Affecter à N la valeur 0
Affecter à U la valeur $1\,000$
Tant que U$≤2\,000$
Affecter à U la valeur U$× 1,05$
Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N

Le second utilise
la formule explicite.

Affecter à N la valeur 0
Tant que $1\,000× 1,05^N≤2\,000$
Augmenter N de 1
Fin du Tant que
Afficher N

2.b. Exemples de programmes utilisant la formule explicite:

Pour une Casio:
$0→N$
While $1\,000× 1,05^N≤2\,000$
$N+1→N$
WhileEnd
N

Pour une TI:
$0→N$
While $1\,000× 1,05^N≤2\,000$
$N+1→N$
End
Disp N


Les deux programmes donnent une valeur de N égale à 15.

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