Les Maths en Première ES

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Trinômes

Exercice 1

Déterminer la forme canonique de $f$, puis dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle I dans chacun des cas suivants:

  1. $f(x)=-6x^2-x+1$ sur $\R$
  2. $f(x)=x^2-14x+49$ sur $I=[0;+∞[$
  3. $f(x)=-5x^2+x-3$ sur $I=\R$

Solution...
Corrigé
Un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ admet pour forme canonique $=a(x-({-b}/{2a}))^2+f({-b}/{2a})$
  1. $f(x)=-6x^2-x+1$.
    $f$ est un trinôme avec $a=-6$, $b=-1$ et $c=1$.
    ${-b}/{2a}={1}/{-12}=-{1}/{12}$.
    $f(-{1}/{12})={150}/{144}={25}/{24}$.
    D'où la forme canonique: $f(x)=-6(x-(-{1}/{12}))^2+{25}/{24}=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$
    $a\text"<"0$. D'où le tableau de variations suivant:
    fig1
    Autre méthode: il est possible de trouver la forme canonique par calcul direct:
    $f(x)=-6x^2-x+1=-6(x^2+{1}/{6}x-{1}/{6})$
    $f(x)=-6(x^2+2×{1}/{12}x+({1}/{12})^2-({1}/{12})^2-{1}/{6})$
    $f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{1}/{144}-{1}/{6})$
    $f(x)=-6((x+{1}/{12})^2-{25}/{144})$ (première forme canonique)
    $f(x)=-6(x+{1}/{12})^2+{25}/{24}$ (seconde forme canonique)

  2. $f(x)=x^2-14x+49$.
    $f$ est un trinôme avec $a=1$, $b=-14$ et $c=49$.
    ${-b}/{2a}={14}/{2}=7$.
    $f(7)=0$.
    D'où la forme canonique: $f(x)=1(x-7)^2+0=(x-7)^2$
    $a\text">"0$. D'où le tableau de variations suivant:
    fig2
    La forme canonique était ici évidente en utilisant une identité remarquable: $f(x)=x^2-2×x×7+7^2=(x-7)^2$
  3. $f(x)=-5x^2+x-3$.
    $f$ est un trinôme avec $a=-5$, $b=1$ et $c=-3$.
    ${-b}/{2a}={-1}/{-10}=0,1$.
    $f(0,1)=-2,95$.
    D'où la forme canonique: $f(x)=-5(x-(-0,1))^2+(-2,95)=-5(x+0,1)^2-2,95$
    $a\text"<"0$. D'où le tableau de variations suivant:
    fig3
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