Les Maths en Première ES

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Trinômes

Exercice 2

Résoudre chacune des équations suivantes:

  1. $-x+1=6x^2$
  2. $2x^2-14x=x^2-49$
  3. $-5x^3+x^2-3x=0$
  4. $x^3=9x$
  5. $(x-1)(x^2+x+1)=0$
  6. ${x^2+7}/{x^2-x-6}=0$

Solution...
Corrigé
Pour résoudre une équation, repérer le domaine d'étude, puis rendre le membre de droite égal à 0. Si le membre de gauche est une fonction affine ou un trinôme, la résolution est facile. Sinon, on peut tenter de factoriser, ou de réduire au même dénominateur.
  1. $\D_E=\ℝ$
    $-x+1=6x^2$ $⇔$ $-6x^2-x+1=0$.
    Le membre de gauche est un trinôme avec $a=-6$, $b=-1$ et $c=1$.
    $Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×(-6)×1=25$.
    $Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={1-5}/{-12}={1}/{3}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={1+5}/{-12}=-0,5$.
    Donc S$=\{-0,5;{1}/{3}\}$

  2. $\D_E=\ℝ$
    $2x^2-14x=x^2-49$ $⇔$ $x^2-14x+49=0$.
    Le membre de gauche est un trinôme avec $a=1$, $b=-14$ et $c=49$.
    $Δ=b^2-4ac=(-14)^2-4×1×49=0$.
    $Δ=0$. Le trinôme a 1 racine double $x_0={-b}/{2a}={14}/{2}=7$.
    Donc S$=\{7\}$
    Autre méthode: on a: $x^2-2×x×7+7^2=(x-7)^2$
    Il est alors évident que le carré $(x-7)^2$ est nul si et seulement si $x=7$.

  3. $\D_E=\ℝ$
    $-5x^3+x^2-3x=0$ $⇔$ $x(-5x^2+x-3)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $-5x^2+x-3=0$.
    $-5x^2+x-3$ est un trinôme avec $a=-5$, $b=1$ et $c=-3$.
    $Δ=b^2-4ac=1^2-4×(-5)×(-3)=-59$.
    $Δ<0$. Le trinôme n'a pas de racine.
    Donc S$=\{0\}$

  4. $\D_E=\ℝ$
    $x^3=9x$ $⇔$ $x^3-9x=0$ $⇔$ $x(x^2-9)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $x^2-9=0$
    Nous avons déjà une solution, $0$.
    Voyons si le trinôme peut s'annuler.

    $x^2-9$ est un trinôme avec $a=1$, $b=0$ et $c=-9$.
    Comme $b=0$, et que $a$ et $c$ sont de signes opposés, la factorisation est évidente.
    $x^2-9=(x-3)(x+3)$
    Le trinôme a donc 2 racines $3$ et $-3$.
    Donc finalement: S$=\{-3;0;3\}$

  5. $\D_E=\ℝ$
    $(x-1)(x^2+x+1)=0$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x^2+x+1=0$
    On a: $x-1=0$ $⇔$ $x=1$.
    Par ailleurs: $x^2+x+1$ est un trinôme avec $a=1$, $b=1$ et $c=1$.
    $Δ=b^2-4ac=1^2-4×1×1=-3$.
    $Δ<0$. Le trinôme n'a pas de racine.
    Donc finalement: S$=\{1\}$

  6. Nous sommes en présence d'un quotient. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    Le dénominateur $x^2-x-6$ est un trinôme avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-6$.
    $Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-6)=25$.
    $Δ>0$. Le trinôme a 2 racines
    $x_1={-b-√Δ}/{2a}={1-5}/{2}=-2$
    et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={1+5}/{2}=3$.
    Donc $\D_E=\ℝ ∖\{-2;3\}$
    Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul
    Donc: ${x^2+7}/{x^2-x-6}=0$ $⇔$ $x^2+7=0$
    Or $x^2+7$ est un trinôme, qui est la somme d'un carré et de 7. Il reste donc strictement positif, et ne vaut jamais $0$.
    Donc, finalement: S$= ∅$
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