Les Maths en Première ES

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Trinômes

Exercice 3

Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle I dans chacun des cas suivants:

  1. $f(x)=-6x^2-x+1$ sur $\R$
  2. $f(x)=x^2-14x+49$ sur $I=[0;+∞[$
  3. $f(x)=-5x^2+x-3$ sur $I=\R$
  4. $f(x)=x^2-9$ sur $I=[0;{1}/{16}]$
  5. $f(x)=-3x^2-14$ sur $I=\R$
  6. $f(x)={x^2+7}/{x^2-x-6}$ sur $I=[0;5]$

Solution...
Corrigé
  1. $f(x)=-6x^2-x+1$.
    $f$ est un trinôme avec $a=-6$, $b=-1$ et $c=1$.
    $Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×(-6)×1=25$.
    $Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={1-5}/{-12}={1}/{3}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={1+5}/{-12}=-0,5$.
    $a\text"<"0$. D'où le tableau suivant:

    fig4
  2. $f(x)=x^2-14x+49$.
    $f$ est un trinôme avec $a=1$, $b=-14$ et $c=49$.
    $Δ=b^2-4ac=(-14)^2-4×1×49=0$.
    $Δ=0$. Le trinôme a 1 racine double $x_0={-b}/{2a}={14}/{2}=7$.
    $a\text">"0$. D'où le tableau suivant:
    fig5
    Autre méthode: $f(x)=x^2-2×x×7+7^2=(x-7)^2$
    Il est alors évident que le carré $f(x)$ est nul en 7, et strictement positif ailleurs!
  3. $f(x)=-5x^2+x-3$.
    $f$ est un trinôme avec $a=-5$, $b=1$ et $c=-3$.
    $Δ=b^2-4ac=1^2-4×(-5)×(-3)=-59$.
    $Δ<0$. Le trinôme n'a pas de racine.
    $a\text"<"0$. D'où le tableau suivant:
    fig6
  4. $f(x)=x^2-9$
    $f$ est un trinôme avec $a=1$, $b=0$ et $c=-9$.
    Comme $b=0$, et que $a$ et $c$ sont de signes opposés, la factorisation est évidente.
    $f(x)=x^2-9=(x-3)(x+3)$
    Le trinôme a donc 2 racines $3$ et $-3$.
    $a\text">"0$. Donc $f>0$ à l'extérieur des racines, et $f<0$ à l'extérieur des racines.
    En particulier, $f(x)<0$ pour $x$ dans l'intervalle $I=[0;{1}/{16}]$
  5. $f(x)=-3x^2-14$
    $f$ est un trinôme avec $a=-3$, $b=0$ et $c=-14$.
    Comme $b=0$, et que $a$ et $c$ sont de mêmes signes, le signe du trinôme est évident.
    $x^2≥0$, donc $-3x^2≤0$, et donc $-3x^2-14<-14$.
    Donc: $∀x∈ℝ$, $f(x)<0$
  6. $f(x)={x^2+7}/{x^2-x-6}$ sur $I=[0;5]$
    $f(x)$ est un quotient.
    Le numérateur $x^2+7$ est un trinôme, qui est la somme d'un carré et de 7. Il reste donc strictement positif.
    Par conséquent, le quotient sera du signe du dénominateur, ce qui nous autoriserait à ne pas faire apparaître le numérateur dans le tableau.
    Le dénominateur $x^2-x-6$ est un trinôme avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-6$.
    $Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-6)=25$.
    $Δ>0$. Le trinôme a 2 racines
    $x_1={-b-√Δ}/{2a}={1-5}/{2}=-2$ (hors intervalle)
    et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={1+5}/{2}=3$.
    $a\text">"0$. D'où le tableau suivant:
    fig7
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